Rozpatrujemy cząstkę, która leci w przestrzeni, a w pewnym momencie emituje w przeciwległych kierunkach dwa fotony o jednakowym pędzie. W konsekwencji, prędkość cząstki pozostanie niezmieniona. Jak jednak sytuacja będzie wyglądać z ukadu, poruszającego się z prędkością v względem układu związanego ze środkiem masy cząstki?
Otóż, na skutek efektu Dopplera, zmienią się częstotliwości wyemitowanych fotonów, a zatem również ich pędy, równe
(2.21) |
Widać, że oryginalnie, częstości były sobie równe. W układzie ruchomym, transformują się jak
(2.22) |
Zatem zasada zachowania pędu to:
(2.23) |
Widać, że dla stałej prędkości v przed i po emisji, równanie nie może być spełnione gdy wypadkowy pęd fotonów nie jest zerowy. Wobec tego trzeba napisać, że
(2.24) |
Inaczej mówiąc,
(2.25) |
Zastąpmy teraz , tj. energię fotonów z układu spoczynkowego, energią z układu ruchomego. Również użyjemy tu przesunięcia dopplera, gdyż dla pojedynczego fotonu energia , więc
(2.26) | |||
(2.27) |
Mamy teraz,
(2.28) |
W granicy, gdyby energia fotonów była tak duża, że , tj. cząstka biegnąca z prędkością by przestała istnieć,
(2.29) |
Podstawiając i oznaczając ,,masę relatywistyczną'' jako (gdzie jest masą spoczynkową, tj. masą w normalnym rozumieniu tego słowa) dostaniemy równanie Einsteina.